Prouvons que le théorème de Pythagore est vrai

samedi 19 juin 2010
par  Serge

Démonstration de la validité du théorème de Pythagore par la méthode du puzzle.

Ce théorème affirme que la somme des carrés des deux cotés perpendiculaires d’un triangle rectangle est égale au carré du troisième coté appelé hypoténuse.

Nous nous proposons de vérifier l’exactitude de cette affirmation par une méthode du puzzle.

Pour comprendre la méthode il est peut-être nécessaire de réviser quelques principes de trigonométrie. Soit le triangle suivant :

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Dans ce triangle, selon Pythagore nous avons : c²=a²+b²
Nous savons calculer la surface d’un triangle rectangle en ne prenant que la moitié de la surface du rectangle dont les cotés sont a et b. Surface du triangle = ab/2

Nous savons aussi que dans un espace euclidien la somme des angles d’un triangle est égale à un angle plat, c’est-à-dire un angle de 180°. Comme dans le triangle rectangle l’un des trois angles est à lui seul égal à 90°, il en résulte que la somme des deux autres est aussi égale à 90°
Ce qui nous conduit à écrire α + β = 90° (un angle droit).

Si nous construisons deux triangles rectangles identiques et les disposons de sorte que le coté b de l’un deux soit dans le prolongement du coté a de l’autre, nous avons la figure suivante :

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Dans cette figure, nous voyons apparaître un nouvel angle appelé γ dont nous concluons qu’il est droit (90°). En effet le prolongement des segments ab constituant une droite, angulairement, chacun des points de la droite est à 180° de n’importe quel autre point, en d’autre terme la droite est un angle plat. Mais nous savons que α + β = 90° il en résulte que
γ = 180° - (α + β) = 90°

Après cette mise en jambe, attaquons nous au problème principal et construisons encore 2 autres triangles rectangles identiques au deux précédents et disposons les de la façon suivante (en continuant la construction précédente tout simplement) et nous obtenons :

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Nous savons que la surface d’un triangle est égal à ab/2 la surface des quatre triangles est donc 4 (ab/2) ou encore 2ab mais c’est aussi la différence de surface entre le grand carré de coté a + b et le carré inscrit de coté c. En effet, il ne s’agit pas d’un losange mais bien d’un carré puisque les quatre cotés sont égaux à c et que les quatre angles sont droits (90°).

Nous avons donc :

2ab = (a + b)2– c2
et en effectuant les produits nous obtenons :

a2 + b2 + 2ab – c2 = 2ab
ensuite en soustrayant 2ab à chaque membre de l’équation :

a2 + b2 – c2 = 0
et en changeant c2 de membre nous obtenons la vérification souhaitée :

a2 + b2 = c2
Le théorème de Pythagore est exact, nous pouvons lui faire confiance, ouf !

Il existe bien d’autres démonstrations comme celle proposée par Thierry ci-dessous, mais celle-ci me semble particulièrement élégante, et ne nécessite aucun bagage mathématique. Je crois sincèrement qu’un élève de CM2 est capable de comprendre cela.

Bonnes vacances à tous

Serge Rochain

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Démonstration de la validité du théorème de Pythagore

Thierry vous propose de comprendre le théorème de Pythagore façon Puzzle :

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Théorème de Pythagore façon PUZZLE

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