Synthèse des échelles

jeudi 17 juin 2010
par  Serge

Bonjour ou bonsoir selon l’heure de la lecture,

Il est temps de tirer la morale de ces histoires d’échelles. Le hasard nous ayant mis le premier sous le nez, j’ai enchaîné avec deux autres problèmes toujours dans le même registre. Ces problèmes semblent tous très différents notamment en raison de la difficulté de leur fin de raisonnement. Le premier d’entre eux nous a acculé à devoir résoudre une équation du quatrième degré, le second nous a conduit à une simple relation du premier degré à une inconnue et le troisième s’est réduit à une simple constatation d’identité entre deux variables disposées symétriquement de part et d’autre d’un axe.

Mais dans les trois cas il ne s’agissait que de la résolution terminale de ces problèmes. Pour le principal de ces trois questions nous avons utilisé rigoureusement le même raisonnement, la même logique, et le même outil pour trois finalités différentes. Est-ce un hasard ? Certainement pas, ce n’est que parce que cet outil de la géométrie est remarquablement bien adapté à ce type de problème. Cet outil, c’est la méthode du puzzle qui consiste à assembler, ajouter, ou retrancher, dans différentes orientations, des fragments de figures géométriques pour créer une figure nouvelle de sorte qu’elle corresponde exactement à une autre figure caractéristique du problème à résoudre, comme on le fait dans le jeu de patience du puzzle.
Souvenez vous, dans les trois cas vous vous êtes livrés au même puzzle en ajoutant les surfaces d’un rectangle à celles de petits triangles pour égaler la surface d’un triangle plus grand. Vous avez réalisé les mêmes opérations dans les trois cas alors que les finalités étaient différentes. Le puzzle géométrique est un outil prodigieux qui ne met en œuvre que l’imagination. Il est possible de l’utiliser dans des situations très différentes, il n’y a pas que des histoires d’échelles ! Rappelez vous, ou allez voir le premier problème d’échelles sur le site, à la page 3 je vous disais dans la solution : « Le théorème de Pythagore vient aisément à bout du problème (pour autant que vous lui fassiez confiance… Êtes vous certain qu’il est exact ?). J’avais déjà une idée derrière la tête à ce moment là. Le moment est venu de démontrer qu’il est exact. Comment ? Mais avec la méthode du puzzle bien sur !! (*)

A vous de jouer,

Serge.

(*) Il existe de nombreuses démonstrations basées sur d’autres méthodes que celle du puzzle, plus ou moins facile à comprendre, mais cette méthode permet de résoudre la question de façon particulièrement élégante… à mon sens.


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